Тут хотя бы тренировки помогут

Есть такое. Насмотревшись юмористической версии и несколько обычных выпусков, уже вырабатываешь пару советов для себя, каким образом решать примеры и находить слова.
Например в словах, если есть ING, сооруди глагол с окончанием -ING, а если есть IEST, сооруди прилагательное с -IEST или существительное с -TIES.
А в цифрах, попробуй заучить все результаты множителей 25 и 75, например 13х75=975, а если среди маленьких есть 3 или 9, проверь можно ли разделить результат на 3 или 9 без остатка. Это можно выяснить путём суммы цифр в числе.
Но как оказалось, на одних таких вещах не уедешь. Охладить трахание нервы и голову тоже необходимо.

Как Рейчел успевает так быстро придумывать правильные комбинации для решения арифметических задач?

Она на это училась, она бакалавр или магистр по математике (или ядерной физике, я не помню конкретно). И благодаря тому, что у неё глаз наметан разделять результаты на простые множители - она и получила эту работу 10 лет назад, когда сделали полный апдейт шоу.

Неужели нет никаких ограничений по гражданству? Участвовать в британских играх разве могут не-резиденты?

Насколько я знаю по каким-то слухам, в этом шоу запрещено играть людям, родившимся в США или имеющие гражданство США. Также, в игре запрещают использовать американские написания слов. Видимо, чистота британского английского здесь стоит перво-наперво.
А так, я имею студенческую визу с ограниченными рабочими часами. И насколько я понимаю, этого достаточно, чтобы принять участие (если, конечно, и кастинг по телефону пройдёшь). ХОТЯ, должен сказать, с меня НИ РАЗУ, НИ НА КАКОМ ЭТАПЕ не спрашивали показать ни эту визу, ни родной загранпаспорт, или даже студенческое удостоверение. Не уверен, как это работает. Ну, видимо, было достаточно того, что я - не американец и был в Британии около четырёх лет.

На съёмках всё происходит также динамично, как и в эфире?

В приницпе, да. Запись идёт где-то час. Хотя присутствуют некоторые заминки при игре.
Например, первое слово, которое я нашёл, я произнёс как ЧИМД, долго потом было недоумение, что это и Сьюзи попросила произнести по буквам. Я назвал СИ, ЭЧ, АЙ, ЭМ, И, ДИ и мне сказали, что нужно переговорить на ЧАЙМД, потому что это слово произносится так. И только это попало в эфир.
Ну, и когда после "раунда с буквами" идут "цифры", режиссёр студии даёт команду и за полминуты доска поворачивается на 180 градусов, а перед Рэйчел ставят стол с числами. Да и ведущий не молодой, много что забывает и он просто переговаривает.